Study of Flocke-Bloch waves depending on the spectral parameter for a one-dimensional photonic crystal
DOI:
https://doi.org/10.30837/rt.2024.4.219.11Keywords:
Sturm-Liouville problem, photonic crystal, dispersion equation, Floquet-Bloch waves, two-layer periodic medium, solution of the spectral equation, spectral parameter, derivative of the spectral parameterAbstract
The presence of forbidden and permitted bands in the parameters of diffraction processes on crystal structures is one of the main phenomena, thanks to which the latter have mostly proven their practical application. An understanding of the nature of the appearance of such forbidden bands for one-dimensional photonic crystals is provided by dispersion equations. One of the forms of this dispersion equation can be written through the solution of the spectral equation taken in the context of the Sturm-Liouville problem, posed accordingly for a one-dimensional photonic crystal (the Sturm-Liouville problem arises in connection with the application of the method of separation of variables to the wave equation).
The current work is a continuation of the work on finding the 1st and 2nd derivatives by the spectral parameter from the solution of the spectral equation. In previous works, it was found that the 1st derivative of the solution of the spectral equation in terms of the spectral parameter is represented linearly through the solution itself and its derivative, but in terms of the spatial variable. This circumstance prompted us later to think about the possibility of writing down the 2nd derivative in a similar form. In this work, the dispersion equation for a one-dimensional photonic crystal is derived. According to the form of the equation obtained in such aoway, it is fair to assign an important role to the functions that are the solution of the spectral equation in connection with the desire to develop an alternative view of the dispersion equation itself. It is also shown that it is possible to represent linearly the 2nd derivative of the solution of the spectral equation. The authors state that the coefficients of the 2nd derivative are relatively uncomplicated for functions bearing linearity (the function itself and its derivative with respect to the spatial variable). Finally, a linear differential equation of the 2nd order is written with respect to the solution of the spectral equation of the function as a function of the spectral parameter.
References
Кожем'яко В.П., Іванов ОА, Іванов І. А. Перспективи застосування фотонних кристалів у сучасних системах обробки даних // Наук. пр. ВНТУ. Інформаційні технології та комп’ютерна техніка. № 4. Р. 1–4 с.
Yablonovitch E. Photonic Crystals // Journal of Modern Optics. Vol. 41, № 2. Р.505–513.
Shmat'ko A., Kazanko A. V., Mizernik V. N., Odarenko E. N., Yampol'skii V. A., Rokshanova T. N. Proc. 8th Int. Conf. Exterordinary reflecton from photonic crystal with metamaterials. Odessa : UWBUSIS, 2016. Р.160–162.
Маркович БМ. Рівняння математичної фізики: навчальний посібник. Львів : Львівська політехніка, 2010. 384 с.
Yariv A., Yeh P. Optical waves in crystals – A Wiley inteprieses Publicatuon. New York : Jon Wiley & Sons, 1987. 616 p.
Eastham M. S. P. The spectral theory of periodic differential equations. Edinburg: Scottish Academic Press [distributed by Chatto & Windus, London], 1975.
Winkler S., Magnus W. Hill's Equation. New York, London, Sydney : Interscience Publisher a division John Wiley & Sons, 1996.
Yakubovich V. A. and Starzhinskii V. M., Linear Differential Equations with Periodic Coefficients (Wiley, New York), 1975.
Казанко О.В, Пєнкіна О.Є. Норма власних функцій одновимірного фотонного кристала // Вісник Харків. нац. ун-ту ім. В. Н. Каразіна. Сер. «Радіофізика та електроніка». 2021. №35. С. 91–99.
Казанко О.В, Пєнкіна О.Є. Диференціювання дисперсійного рівняння у дифракційній задачі для необмеженого двовимірного шаруватого середовища // Експериментальні та теоретичні дослідження у сучасних науках : зб. наук. пр. "Логос" (ΛΌГOΣ) з матеріалами наук.-практ. конференції. Краків, Польша : Європейська наукова платформа, 2019. С. 36–42 с.
Казанко О. В. & Пєнкіна О. Є. Аналіз складових членів дисперсійного рівняння у задачі про дифракцію плоского монохроматичного коливання у двовимірному необмеженому двошаровому середовищі з метаматеріалом // Зб. наук. пр. "Грааль науки". 2021. № 6. С. 210–216.
Казанко О.В., Пєнкіна О.Є. Аналіз та методологія визначення норми власних функцій як граничний перехід у скалярному добутку в спектральній проблемі Штурма-Ліувілля для фотонного одновимірного кристала // Вісник Харків. нац. ун-ту ім. В. Н. Каразіна. Сер. «Радіофізика та електроніка». 2023. Вип. 39. С. 41–50.
Guida G. Introduction to photonic band gap materials // Progress In Electromagnetics Research. 2003. №41. Р. 1–20.
Gaughan Richard. Researchers Create Tunable Photonic Bandgap Crystal // Photonics Spectra. 2000. Vol. 34. №1.
Pandey G. N., Thapa K. B., Srivastava S. K., Ojha S. P. Band structures and abnormal behavior of one dimensional photonic crystal containing negative index materials // Progress In Electromagnetics Research M. 2008. Vol. 2. Р. 15–36.
Morozov G.V., Sprung D. W. L. Floquet-Bloch waves in one-dimensional photonic crystal // A Letters Journal Exploring Physics, EPL, 96, 2011: 54005:p1-p5.
Sprung D. W. L., Wu H. and Martorell J. // Am. J. Phys., 61 (1993) 1118.
Самойленко А., Перестюк М., Парасюк І. Диференціальні рівняння : підручник для студ. мат. спец. 2-ге вид. Київ : Либідь, 2003. 301 с.
Downloads
Published
How to Cite
Issue
Section
License
Authors who publish with this journal agree to the following terms:
1. Authors retain copyright and grant the journal right of first publication with the work simultaneously licensed under a Creative Commons Attribution License that allows others to share the work with an acknowledgement of the work's authorship and initial publication in this journal.
2. Authors are able to enter into separate, additional contractual arrangements for the non-exclusive distribution of the journal's published version of the work (e.g., post it to an institutional repository or publish it in a book), with an acknowledgement of its initial publication in this journal.
3. Authors are permitted and encouraged to post their work online (e.g., in institutional repositories or on their website) prior to and during the submission process, as it can lead to productive exchanges, as well as earlier and greater citation of published work (See The Effect of Open Access).
